sábado, 2 de enero de 2010

Ejecución Infinita

En el País Infinito decapitan todos los días a infinitos malhechores.


La ejecución es sencilla. A las doce del mediodía, una cuchilla de longitud infinita, conocida popularmente como El Segundero, está en posición vertical. A sus pies, sobre una horizontal infinita, esperan los infinitos cuellos de los ajusticiados, de 18 centímetros de diámetro cada uno (un país bien ordenado).






En ese momento, El Segundero comienza a rotar en sentido descendente. A las doce y quince segundos, El Segundero ha completado un ángulo recto, ha alcanzado la horizontal, ha separado todos los cuellos de sus cabezas.




Ahora viene la dificultad.

En el País Infinito consideran que la ejecución de cada ajusticiado comienza en el preciso momento en que la cuchilla ha tocado su cuello por primera vez. Así, por ejemplo, la ejecución del primer ajusticiado comenzaría en este instante:



La del segundo ajusticiado comenzaría en éste:



Y así sucesivamente.

La cuestión que se plantea es inevitable: ¿En qué momento podemos afirmar que ha comenzado la ejecución de todos y cada uno de los ajusticiados?

En principio, nuestro razonamiento sería el siguiente: a las doce y quince segundos la ejecución ha terminado, todos los cuellos han sido cortados por completo, de modo que tendremos que retroceder a algún instante previo para encontrar el comienzo.

Ocurre, sin embargo, que este razonamiento es falso. No hay ningún instante anterior a las doce y quince segundos en que todos los cuellos hayan sido tocados. Para demostrarlo, basta considerar lo siguiente: en cualquier instante anterior a las doce y quince segundos que elijamos, la recta de la cuchilla y la horizontal forman un ángulo de más de cero grados. Esto significa, entre otras cosas, que la separación entre ambas aumentará sin cesar a medida que nos alejemos del vértice, hasta llegar a un punto en que habrá rebasado los 18 centímetros de cada cuello. A partir de ese punto, por lo tanto, la cuchilla se eleva más y más sobre infinitos cuellos todavía no tocados.

Descartada esta alternativa, sólo queda la primera: las doce y quince segundos. El único instante en que podemos afirmar que la ejecución de todos y cada uno de los condenados ha comenzado es precisamente el instante en que ha terminado. Hay un instante en que todos los cuellos han sido cortados por completo, pero no hay un instante previo en que todos los cuellos hayan sido meramente tocados. O dicho de otro modo: pasamos abruptamente, sin fases intermedias, de una situación en la que hay infinitos cuellos todavía no rozados a una situación en la que todos los cuellos han sido cortados por completo y las cabezas pueden rodar libremente por el suelo.

35 comentarios:

Jesús Zamora Bonilla dijo...

No entiendo qué quiere decir lo de que "ha comenzado la ejecución PARA TODOS los ajusticiados". Empezar, empieza cuando el segundero toca el primer cuello, y eso ocurre en un instante preciso, dependiendo de la ALTURA del cuello (para ser exactos: basta con calcular el ángulo que forman la línea oblicua que has dibujado en la última imagen y la vertical, y dividir el resultado (en grados) por 6 (pues cada segundo en el reloj tiene 6 grados.

Ejecución Infinita dijo...

Tienes razón no está bien explicado.

En ese instante empieza para el primero. Unos instantes después, cuando toca el segundo cuello, empieza la ejecución para el segundo. Cuando toca el tercero, para el tercero, etc.

La pregunta podría formularse así:

¿En qué momento podemos decir que la cuchilla ha tocado por primera vez todos y cada uno de los cuellos?

Ejecución Infinita dijo...

Jesús, acabo de modificar la entrada para hacer más clara la pregunta y la dificultad que me parece que entraña. Espero haberlo conseguido.
Muchas gracias por tu ayuda.

Pepito dijo...

la ejecucion termina en 20:00:15 porque para distancia infinita siempre existira un ajusticiado esperando la aguja

Ejecución Infinita dijo...

Amigo Pepito,

Cuándo termina la ejecución está claro: al cabo de quince segundos, que es el tiempo que tarda la cuchilla en alcanzar la posición horizontal y cortar por completo todos los cuellos. Ese es el momento en que rodarían las infinitas cabezas, por decirlo de un modo macabro.

La cuestión es cuándo ha comenzado la ejecución para todos los ajusticiados; es decir, en qué momento podemos afirmar que la cuchilla ha tocado (sólo tocado) por primera vez todos y cada uno de los cuellos.

A mi modo de ver hay sólo dos opciones, y las dos insatisfactorias:

1. A los quince segundos. Esto significaría que el momento en que la ejecución ha comenzado para todos es el mismo momento en que ha terminado, lo cual es contradictorio. Equivale a decir que un cuello fue tocado por primera vez en el mismo momento en que fue rebanado por completo.

2. En algún momento previo a esos quince segundos. Ésta parece la opción más lógica, pero puede demostrarse que es falsa de varias maneras. La más sencilla quizá sea ésta: mientras la cuchilla no haya alcanzado la horizontal (es decir, mientras forme con la horizontal un ángulo de más de cero grados), su alejamiento de la horizontal será infinitamente creciente. Bajo ella quedarán, por lo tanto, infinitos cuellos de 18 cm de diámetro todavía no tocados.

Ejecución Infinita dijo...

Dicho sea de paso, el problema podría plantearse de un modo más sencillo, pero menos dramático, y de aspecto menos paradójico, sustituyendo los infinitos cuellos por una línea paralela a la horizontal.

La pregunta sería: ¿En qué momento ha recorrido El Segundero todos los puntos de la horizontal superior? ¿En el mismo momento en que alcanza la posición de la horizontal inferior o antes?

Intuyo que la solución, de existir, está relacionada con la definición clásica de las paralelas como líneas que se cruzan en el infinito o con la definición de la línea recta como un sector cualquiera de una circunferencia infinita.

Palacio dijo...

Buenas tardes. En realidad el problema me parece equivalente a decir: cuánto tardo en contar infinitos números.Con el segundero cayendo vamos contando los números naturales. Por tanto, como esa cuenta es infinita, ese segundero infinito nunca ajusticiaría a todos los infinitos reos. Ese segundero infinito nunca acabaría de llegar a la horizontal. Son las paradojas del infinito. Un saludo y feliz año para todos.

Ejecución Infinita dijo...

Estimado Palacio, tal vez estoy equivocado, pero creo que la longitud infinita del segundero no influye para nada en el tiempo que tarda en completar su giro.

Un segundero de cuatro centímetros y uno de cuatro kilómetros tardarían exactamente el mismo tiempo en completar su vuelta al reloj: sesenta segundos. Mi reloj de pulsera y el Big Ben marchan al mismo ritmo.

Ejecución Infinita dijo...

Por otro lado, contar los infinitos números naturales no tiene por qué requerir un tiempo infinito, al menos en principio.

Imaginemos una máquina de contar ideal (e imposible) cuya velocidad se multiplicara por diez con cada nuevo número contado.

Esa máquina podría contar el primer natural en 1 segundo, el segundo natural en 0,1 segundos, el tercer natural en 0,01 segundos, etc. Así, habría contado todos los números naturales en 1,11111... segundos.

Ignacio dijo...

El problema es absurdo, pues el reloj es absurdo. Deberíamos saber a qué velocidad se mueve el extremo de la manecilla, que es donde está la última cabeza a cortar. Como ésta es infinita, no existe extremo, pero deberíamos asumir que se mueve a una velocidad infinita. Si se mueve a una velocidad infinita, el tiempo que tarde en recorrer el cuarto de giro, sería cero, pero claro, el tiempo es limitado y deben ser 15 segundos. Así que debemos recorrer un espacio infinito a una velocidad infinita, en quince segundos. Por supuesto eso es imposible, y todo el problema no es más que una trampa del lenguaje proveniente de una imprecisa definición del concepto "infinito", o una chorrada para que pase el tiempo (finito) alguien que no tiene nada que hacer, vamos. Cualquier problema en el que menciones el infinito de forma no matemática te dará consecuencias lógicas de igual calibre (ni siquiera se podrían llamar paradojas), y no te llevarán a ningún lado. Saludos

Ejecución Infinita dijo...

Amigo Ignacio,

Permíteme algunas precisiones:

1. No hay ningún reloj propiamente dicho. Hay una cuchilla cuyo movimiento circular y cuya velocidad son idénticos a los de un segundero. Su velocidad, por tanto, son 0,105 radianes por segundo.

2. Que las cabezas se extiendan a lo largo de una línea infinita no impide que esa cuchilla de longitud también infinita las corte todas.

3. Recorrer una infinita sucesión de puntos no tiene por qué llevar un tiempo infinito. Lo hacemos a diario.

4. Aquí hablamos de movimiento circular. Esa cuchilla-segundero de longitud infinita completará el ángulo recto en el mismo tiempo que el segundero de cualquier reloj.

5. Utilizo la palabra "infinito" para referirme al cardinal de un conjunto de elementos equipotente al conjunto N de los números naturales. El problema puede tratarse matemáticamente, y de hecho he indicado en un mensaje anterior que sería equivalente un problema que sustituyera la infinita sucesión de cuellos por una línea paralela a la horizontal.

Ejecución Infinita dijo...

Dos cosas más que he olvidado, aunque no están relacionadas directamente con el post de Ignacio:

1ª. Si se añadiera la distancia que media entre cada cuello (o entre las diminutas verticales del gráfico, para ser más exactos), podría calcularse sin dificultad el instante en que la cuchilla toca cada cuello por primera vez, como ya dijo Jesús Zamora. Así, por ejemplo, dada una separación de un metro entre cada cuello, el primero sería tocado a los 13,3 segundos (aprox.).

2ª. Lo paradójico del caso, o lo extraño (para decirlo con una palabra menos pretenciosa) no está en el hecho de que la cuchilla corte finalmente los cuellos. Insisto en que eso es lo normal.
Lo extraño o lo paradójico es que se pasa, sin solución de continuidad, de un instante en que hay infinitos cuellos todavía no rozados a un instante en que esos cuellos han sido rebanados por completo y las cabezas ruedan libremente.

Ejecución Infinita dijo...

A riesgo de que el blog se convierta en un homenaje al infinito en fondo y forma, he modificado por enésima vez la entrada.

Ignacio dijo...

Antes de nada, en el país infinito todos son malhechores, es obvio pues hay infinitos de ellos (¿quien ha decidido qu mueran, si todos tienen su cuello en la guillotina?).
En el fondo todos los problemas sobre el infinito, desde el primero de la carrera entre Aquiles y la Tortuga, acaban en las mismas contradicciones, insisto en que son trampas conceptuales. Da igual todos los rollos mentales que te montes, un movimiento infinito tiene infinitas consecuencias. ¿Por qué los cuellos tienen, precisamente 18 cms? Supongo que es arbitrario: si tienen 20 cm, el problema no cambia en absoluto. Entonces hazlo más fácil, cada uno de los infinitos cuellos tiene un diámetro infinito. Nada se opone a ello en el país infinito, y eso no cambia la base del problema. En el primer instante que la cuchilla avance, habrá cortado los infinitos cuellos. Esa pues es la solución: en el primer instante en que empieza el movimiento, se han cortado las infinitas cabezas (vale, ahora empieza a subdividir el primer momento en momentos más pequeños, y estamos en lo mismo).
No tiene lógica, pero tampoco la tiene el problema, que posiblemente tenga infinitas soluciones.
Saludos

Ejecución Infinita dijo...

Amigo Ignacio,

Que en el País Infinito haya infinitos malhechores no implica que todos los habitantes sean malhechores. Los números pares son infinitos, y son sólo una parte de los infinitos números naturales. De hecho, un conjunto puede definirse como infinito cuando es posible establecer una correspondencia biunívoca entre todos los elementos del conjunto y los de uno de sus subconjuntos. Hablando en plata: cuando alguna de las partes es del mismo tamaño que el todo.

En efecto, la elección del diámetro de los cuellos es arbitraria. Valdría igualmente cualquier otra medida finita. Pero ojo, finita: en el caso de una medida infinita, como la que tú sugieres, el problema cambia radicalmente y la solución es la que apuntas. En cuando abandonara la posición vertical, la cuchilla empezaría a cortar todos los cuellos.

Tienes razón cuando dices que la mayoría de los problemas sobre el infinito son mapas conceptuales, y que raramente conducen a ningún sitio. Pero hay excepciones, desde la teoría de conjuntos de Cantor hasta la topología, pasando por el cálculo infinitesimal. Incluso hay matemáticos que han definido a su disciplina como la ciencia que permite hablar del infinito.

Este tipo de cuestiones suelen suscitar rechazos o entusiasmos absolutamente apasionados, y comprendo bien ambas posturas. En mi caso particular, por suerte o por desgracia, formo parte del grupo entusiasta.

Ignacio dijo...

Yo formo parte del grupo de ex-entusiastas, je.
OK, admito que he metido la gamba con el número de malhechores. n+inf = inf, para cualquier n.
Pero uno de los problemas (o el gran problema) del concepto "infinito" es que tan solo tiene sentido matemático, no real (ni siquiera podemos hablar de un universo infinito, no lo es). Si por ejemplo hablamos de una recta, es un concepto matemático, y nos la podemos imaginar como algo real, pero no su infinitez. Tampoco un coseno, ni un logaritmo. Ni siquiera una suma, aunque algunos de los conceptos matemáticos puedan tener su equivalente natural (los números naturales, sin ir más lejos), otros muchos, no. Y el infinito, no. Es tan solo un concepto matemático. Los conceptos maemáticos NO TIENEN PORQUÉ tener un equivalente natural. Así pues, los problemas "naturales" relacionados con el infinito intentan conceptualizar algo que no se puede conceptualizar (porque no hay concepto que lo abarque, más que como definición matemática, como tú bien has expresado). La verdad es que esto que voy diciendo me viene sobre la marcha, supongo que estaría enterrado en mi subconsciente, pues hecho un vistazo por internet, y veo que hay mataos que piensa como yo, como Poincaré, Wittgenstein, o Kant (Artículo interesante en http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol1/vol1n2p59-81.pdf), que se quedaron desfasados frente a
Cantor el cual ciertamente puso unas cuantas cosas claras, pero siempre desde una teoría puramente matemática.
El problema del reloj que no es un reloj, sigue siendo un absurdo, como tantos otros.
Saludos

Ignacio dijo...

Al hilo de todo ésto, me preguntaba si el concepto de infinito tiene algún uso en Física (creo que la respuesta es NO, pero no estoy seguro), y he encontrado éstas interesantes reflexiones, que vienen como anillo al dedo para lo que yo quería expresar:

http://www.taringa.net/posts/info/1496306/Simplemente-____-Infinito.html

Ejecución Infinita dijo...

Ignacio,

Muchas gracias por tu respuesta y por el enlace, que espero leer mañana si los festejos lo permiten.

Creo que estoy de acuerdo con todo lo que dices acerca de las representaciones "naturales" del infinito y su falta de rigor. Personalmente, estoy convencido de que el caso que planteo, tal como lo planteo, no pasa de ser un mero divertimento. Sospecho, sin embargo, no ya que podría plantearse de forma matemática, sino que acaso ya se ha planteado. De hecho, mi propósito fundamental al colgarlo aquí era ver si aparecía algún lector que me indicara su posible tratamiento matemático.

En lo que creo que discrepamos es en la cuestión de si existe o no existe el infinito en la naturaleza. Mi intuición me dice que no, como a ti, pero no estoy seguro de que pueda descartarse por principio. El hecho de que algo sea inimaginable no implica que sea inexistente (y lo mismo a la inversa). Por lo demás, la realidad o irrealidad de los conceptos matemáticos en general, no ya sólo del infinito, es un asunto demasiado difícil para mí.

Sólo una cosa más: yo también era un ex-entusiasta del infinito. Hace años estuve muy metido en estos embrollos, y apenas había un día en que Russell o Cantor no me vinieran a la cabeza con cualquier motivo. La fiebre duró varios meses y un buen día se fue como había venido.

El caso es que no había vuelto a ocuparme del infinito y sus alrededores hasta que el otro día me vino la imagen de la ejecución y se me ocurrió redactarla. Moraleja: estas cosas dejan secuelas, me temo que de por vida.

Ignacio dijo...

Pues si hay secuelas, lo mismo cualquier día me vuelve el ramalazo, vete a saber ;-) (intuyo que el día que me pona a releer a Borges).
Es interesante lo que dices, si hay alguien que exponga el problema desde un punto de vista matemático (y que incluya una solución), me gustará verlo.
Saludos, y espero que los reyes se hayan portado bien.

Anónimo dijo...

Sobre la visión del problema como un asunto de rectas la cuestión es meridiana.

Por una parte tenemos una recta y=C*x donde C va moviéndose en el tiempo desde un valor infinito (recta vertical, instante inicial) a un valor cero (recta horizontal, instante final).

Además, tenemos la recta de los cuellos que es una recta horizontal (paralela al eje X=0) de altura 18cm. Su ecuacaión es y=B donde B=18cm.

Obviamente el conjunto de ecuaciones

y=C*x
y=B

Obviamente,

x=B/C

indica el punto de corte de las dos rectas.

El punto de corte tiene a cero en el instante inicial (cuando C tiende a infinito). Alternativamente la abcisa de corte tiene a infinito cuando C tiende a cero.

Evidentemente para x>B/C la cuchilla (y=C*x) está por encima de los cuellos (y=B).

y, analógicamente, para x<B/C, la cuchilla ya ha contactado con ls cuellos.

Es lo que tiene la geometría euclediana. Que dos rectas que no son paralelas, se cortan. Sí o sí.

Ejecución Infinita dijo...

Muchísimas gracias, Anónimo. Magnífico regalo de Reyes.

Ejecución Infinita dijo...

Ignacio, los Reyes se han portado muy bien. Desde luego, mejor que yo a lo largo de este año. Me ha extrañado tanto esa generosidad que hasta empiezo a pensar si no serán los padres realmente.

Ejecución Infinita dijo...

Anónimo, acaba de asaltarme una duda considerable al releer su mensaje:

El punto de corte x=B/C, ¿representa el instante en que C corta a B por primera vez o el tiempo total en que ambas rectas están en contacto?

Anónimo dijo...

Representa el punto de corte en cada instante.

C va cambiando con el tiempo C(t)

y en cada instante empieza a tocar un cuello (corta a la recta y=B).

En ese instante, la abcisa del punto de corte de las dos rectas es

x(t)=B/C(t)

Anónimo dijo...

Bueno, aquí una grafiquita

http://3.bp.blogspot.com/_XlVZFBHdRkE/S0ULvpBx1pI/AAAAAAAAARs/wA_ucIu1aDY/s1600-h/ejecucion-infinita.png

Cada recta (oblícua) que pasa por el origen representa un tiempo diferente y=C(t)x.

Y cada una de ellas corta a la horizontal y=B.

La abcisa del punto de corte es x=B/C y se va moviendo hacia la derecha (hacia el infinito).

Pero síempre existe ese punto de corte porque la recta oblícua (y=Cx) no es paralela a la recta horizontal (y=B) salvo cuando C es exactamente cero.

Ejecución Infinita dijo...

Vale, entonces lo había leído bien la primera vez y lo embrollé todo las siguientes, como suele ocurrir.

Muchísimas gracias de nuevo, amigo.

Ejecución Infinita dijo...

Acabo de ver la gráfica y compruebo que hay algo infinito en este mundo: la generosidad del Anónimo. Gracias es poco.

Ejecución Infinita dijo...

He colgado en los comentarios de otro blog un mensaje sobre mis queridos "números impensables", sobre los que quizá cuelgue aquí una entrada un día de éstos:

"seguido con interés el debate sobre la posible existencia real de los conceptos matemáticos y me gustaría aportar un caso curioso: el de los "números impensables" (Chaitin preferiría hablar de "números incomprensibles o incomprimibles"). El razonamiento puede explicarse en cinco pasos:

1º. Todas nuestras definiciones tienen algo en común: están formadas por un número finito de símbolos o signos. Esto es válido tanto para la definición de mesa como para la definición del número pi.

2º. Decimos que podemos pensar en un número (o, si lo preferimos, que podemos identificar un número) cuando somos capaces de definirlo mediante un número finito de símbolos. Así, por ejemplo, nuestra mente no es capaz de pensar en los infinitos decimales de pi, pero tenemos una definición finita del número que nos permite conocer, al menos en principio, cualquiera de sus decimales. En este sentido, pi es un número pensable, como es pensable la raíz de dos o "el número real es igual que pi salvo en su primer decimal, que es un cuatro".

3º. El conjunto de las definiciones expresables con un número finito de símbolos es equipotente al conjunto de los números naturales: su cardinal es aleph sub0.

4º. El conjunto de los números reales es mayor que el conjunto de los números naturales. Su cardinal es aleph sub 1.

5º. Así pues, hay infinitos números reales (concretamente, aleph sub 1 números reales) que no pueden ser definidos -ni por tanto pensados- por el hombre.

Leibniz llamó "híbridos de ser y no ser" a los números imaginarios. ¿Cómo habría llamado a estos números que, por definición, ni siquiera existen en nuestra mente?*


* No existen en nuestra mente de forma individual. Conocemos su conjunto, pero no podemos conocer ni uno solo de sus elementos. Vemos el enjambre, pero nunca veremos una sola de sus abejas".

Anónimo dijo...

Yo plantería la cuestión de otra forma. El enjambre es el conjunto de números reales. Y en el contexto de la discusión alguien diría, con toda rotundidad, que 'conocemos' (solo) unos pocos de los elementos de ese enjambre.

El 1, el 2, el 234324. También pi, pi^2, e, gamma.

Ejecución Infinita dijo...

Anónimo, su imagen recuerda a la de Bell, cuando describe a los números algebraicos como "estrellas en la noche densa de los números trascendentes".

Infinitas CMS dijo...

Great post. Thank you.

soy... dijo...

¡Que tardiamente me llega este problema planteado en el blogs! sin querer liar mas el asunto, tenemos que hacer dos precisiones al problema; la primera es que el vertice, o punto donde se cruzan las dos lineas, la cuchilla y la horizontal que forman las cabezas alineadas de los desdichados, ! NO SON VERTICALES! pudieran serlo, pero no sabemos si lo son... como las rectas se extienden hasta el infinito, debemos asumir que si estas se cortan en algun punto, ese punto es precisamente nuestro vertice, pero el hecho de que las lineas se corten, no quiere decir que se forme una normal entre ellas. otro punto es que no es un problema de movimiento circular, pues las dos rectas obedecen a este tipo de movimiento a medida en que nuestro razonamiento sobre el problema se centre en aquellos puntos que puedan considerarse que tienden al vertice u origen; luego, por las mismas caracteristicas de lo infinito, ,en las distancias que avanzan a la derecha de nuestro vertice no podemos considerar el problema como un asunto de calculo de radianes, pues las rectas serian pararelas, y permanecerian bajando todo el tiempo sin jamas llegar a tocar - ni siquiera tocar- la ultima cabeza... el problema tenderia a un infinitesimo analogo a aquel que es muy usado en las explicaciones a estudiantes iniciales del calculo diferencial e integral, en donde la idea de limite se conceptualiza de manera grafica de la siguiente manera: si tenemos un rectangulo, y cortamos este por la mitad, podemos cortar esa mitar por la mitad, y esta ultima por la mitad, esta por la mitad, y asi sucesivamente sin terminar jamas, pues cada parte siempre tendra su mitad… esta es la idea de infinitesimo. De todas formas la solucion mas cercana al problema es el concepto matematico de indeterminacion…

soy... dijo...

sigo..

la idea grafica de infinitesimo que expuse en mi comentario anterior recrea el momento en que las rectas, paralelas en el infinito, se acercan infinitesimalmente a la cabeza de nuestro ultimo? desdichado sin llegar jamas a tocarlo... y es la ultima cosa que quiero comentar; no existe ese ultimo desdichado, pues siembre tendremos como escribio ignacio n+inf = inf... por tanto si pudieramos siquiera imaginar a la cuchilla desplazandose en el infinito, pues observariamos algo parecido a la recta de la cuchilla avanzando perpetuamente en busca del final de un infinito de cabezas- lo que de por si es ya una contradiccion- para terminar con su holocausto infinito... que no es mas que una nueva contradiccion.

dices en un comentario: "Lo extraño o lo paradójico es que se pasa, sin solución de continuidad, de un instante en que hay infinitos cuellos todavía no rozados a un instante en que esos cuellos han sido rebanados por completo y las cabezas ruedan libremente." NO, no existe una solucion asi, mientras trabajemos con este ejemplo.

soy... dijo...

sigo, y es la parte buena...

ahora bien ¿queremos saber la solucion real al problema? lo primero es que luego de hacer las observaciones de lugar, se concluye que !nunca se corta una sola cabeza...! solo hay una posibilidad de un solo corte y solo uno, y es solo si la cuchilla y la recta se cortaran en un punto y ese punto !es una de las cabezas! me explico: el punto de corte u origen de las dos rectas - la recta que forma la cuchilla y la linea que forman las cabezas- es el unico punto posible y solo ese de encuentro de las dos rectas infinitas... nuestros agraciados malechores estarian muertos pero de la risa de saber que se usara semejante acto de ejecucion... el problema estriba en que el enfoque presentado trata el infinito de manera equivocada, desde un enfoque meramente finito y determinado...

espero que mis planteamientos ayuden en algo...
gracias.

Greezael 0.0. dijo...

Lamento resucitar el hilo, pero creo haber hallado la simple respuesta:

A y 15 segundos.

La simple razón es el tiempo. Cada ejecución se demora menos tiempo que la anterior, por lo que el último ajusticiado, en el infinito, recibirá la cuchilla y morirá en un tiempo 0. A la vez. Por tanto, la última ejecución comienza (y acaba), a y 15 segundos. Exactamente.

Saludos.